实对称矩阵要对角化的方法

　　一、实对称矩阵

　　实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。

　　引理 22.1
　设A
是一个n
阶实对称矩阵，α ,
β
是任意的n
维实向量，那么

　　(Aα,β)=(α,Aβ) ( 22-1)

　　定理 22.2
　实对称矩阵的特征值都是实数。

　　定理 22.3
　实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量一定正交。

　　二、实对称矩阵的对角化

　　首先，由§ 2 0所介绍的关于特征值与特征向量的性质（7）可知

　　定理22．4　设 A
是n
阶实对称矩阵，
是A 的n 个特征值（它们不必互不相同），那么存在正交阵 T ，使

　　T AT = T
AT= .

　　定理并没有告诉我们怎样具体求出正交阵 T ，但是定理 22.3 保证了属于不同特征值的特征向量 ( 他们一定可以取成实向量
)
一定正交，并且可以证明：对任意一个重数为 d ( ≥1) 的特征值λ，一定可以找到属于特征值λ的 d 个线性无关的特征向量，通过
Gram-Schmidt
正交化过程，找到
d
个属于特征值λ的两两正交的特征向量。这样，我们可以得到 A 的n 个两两正交的特征向量，在把它们单位化，就得到了 Rn 的一个标准正交基，他们仍然是
A
的n
个线性无关的特征向量，作为列向量构成正交阵 T 。

　　例1 　求正交阵 T ，使T AT = T
AT 为对角阵，其中

　　A

　　小结一下，求正交阵使实对称矩阵正交相似于对角阵的具体算法是：

　　（1）求出实对称矩阵 A
的特征多项式

　　Δ (λ) = |λE-A|

　　=( λ- λ1 )
( λ- λ2 ) ...
( λ- λn )

　　其中

　　（2）对每个特征值λ
，求出齐次线性方程组
的基础解系,
（注意，基础解系所含的线性无关的解向量的个数是特征值 的代数重数
）,
i=1,2......s.

　　（3）分别把属于每个特征值λ i 的
个线性无关的特征向量标准正交化，得到 , i=1,2........s
.

　　（4）取正交阵
T= 那么

　　T
AT = T AT

　　=diag(
)

可以，不过D的对角线上的元素是A的特征值，即是与A相似的对角矩阵

　　对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来，如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要很长时间才能做完，但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。
　　对称矩阵：对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。