若 X+1⼀Y=Y+1⼀Z=Z+1⼀X，求1⼀（XXYYZZ）的值。（X,Y,Z两两不相等）

=1解：
因为x+1/y=y+1/z所以x-y=(y-z)/(yz)
因为x+1/y=z+1/x所以x-z=(y-x)/(xy)
因为y+1/z=z+1/x所以y-z=(z-x)/(xz)
后三式相乘，得到
(x-y)(x-z)(y-z)=(y-z)(y-x)(z-x)/[(xyz)^2].
因为x,y,z两两不等，
所以
1/(xyz)^2=1.

X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/X = k (1)
(1)分别乘以yz,xz,xy=>
xyz+z=kyz (2)
xyz+x=kxz (3)
xyz+y=kxy (4)
(2)-(3)=> z-x=kz(y-x) (5)
(3)-(4)=> x-y=kx(z-y) (6)
(4)-(2)=> y-z=ky(x-z) (7)
(5)(6)(7)得k^3*xyz=-1 (8)
(1)分别乘以y,z,x得
xy+1=ky (9)
yz+1=kz (10)
zx+1=kx (11)
(9)-(10)=> y(x-z)=k(y-z) (12)
(10)-(11)=> z(y-x)=k(z-x) (13)
(11)-(9)=> x(z-y)=k(x-y) (14)
(12)(13)(14)相乘得k^3=-xyz (15)

由(8)/(15)得xyz=1/(xyz)
所以1/(xxyyzz) = 1

依题意：
X+1/Y=Y+1/Z，推出X-Y=（Y-Z）/YZ,同理，Y-Z=(Z-X)/ZX,Z-X=(X-Y)/XY,将这三个等式左边乘左边，右边乘右边，得（X-Y）（Y-Z）（Z-X）=（X-Y）（Y-Z）（Z-X）/YZ*ZX*XY,因为X、Y、Z两两不等，所以（X-Y）（Y-Z）（Z-X）=不等于0，两边约去，最后得出1/（XXYYZZ）=1