一道题 设y=ax+b⼀cx+d，a，b，c，d是有理数，x是无理数，求证 当bc=ad时，y是有理数）

是 y =(ax +b) /(cx +d) 吗？
= = = = = = = = =

证明：(1) 要使y 有意义, c, d 不同时为0.

i) 当 c=0 时,
ad =bc =0,
所以 a=0.
所以 y =b/d, 是有理数.

ii) 当 d=0 时,
bc =ad =0,
所以 b=0.
所以 y =a/c, 是有理数.

iii) 当 c≠0 且 d≠0 时,
设 k =a/c =b/d,
则 k 是有理数.
且 a=kc,
b=kd.
所以 y =k, 是有理数.

综上, 当 bc =ad 时, y是有理数.

(2) 要使y 有意义, c, d 不同时为0.

假设 y 是有理数,
则 ax +b =y (cx +d),
即 (yc -a) x =(b -yd).

又因为 x 是无理数,
所以 yc -a =b -yd =0.
即 a =yc,
b =yd.
所以 ycd =ad =bc,
与 bc ≠ad 矛盾.

所以 假设不成立.
即 当bc ≠ad时, y是无理数.