高等数学微积分无穷级数问题

1、只要正负项交错出现就是交错级数，通项里面可以是(-1)^n，也可以是(-1)^(n-1)。对于两种形式的交错级数，都可用莱布尼兹定理判别收敛性，因为莱布尼兹定理的条件都是针对通项的绝对值。
2、级数的一个性质是级数的通项乘以非零数k后收敛性不变。若k=0，不管原级数收敛还是发散，新级数肯定收敛。
3、幂级数的四则运算与求极限、求导、求积运算只能在收敛域内讨论。
4、你判断的只是级数不绝对收敛，它自身是交错级数，用莱布尼兹定理可知级数收敛，最终结果是级数条件收敛。
5、通项可以写成(-1)^n×sin(1/lnn)，先判断级数是否绝对收敛，n→∞时，sin(1/lnn)等价于1/lnn，1/lnn＞1/n，所以级数∑1/lnn发散，所以原级数不绝对收敛。用莱布尼兹定理可以判断级数是收敛的，所以级数条件收敛。
6、u(x)的极限存在非零，(x)的极限存在非零时，这个式子成立。对于未定式0^0，0^∞，∞^0，1^∞等形式，取对数后用洛必达法则。
7、|an|/n≤1/2(an^2+1/n^2)，由比较法，级数收敛。
8、讨论数列{an}的收敛性？很明显{an}单调减少有界，收敛。如果是级数∑an，用比值法，a(n+1)/an→0，级数收敛。
9、比值法，极限是4/5，级数收敛。
10、首先|q|＜1，否则S不存在。这里需要注意的是余项级数S-Sn=aq^n+aq^(n+1)+...中n是相对固定数，通项a*q^(n+k)，k从0到∞，所以S-Sn就是一个首项为aq^n，公比为q的等比级数，其和是aq^n/(1-q)。
11、1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2)]，求Sn时两两抵消。思路是：要想做到两两抵消，分母只能是相邻两个数相乘才行。
12、级数的性质：去掉有限项不改变级数的收敛性。自然也不可能改变幂级数的收敛半径。从数列极限的角度来说，去掉有限项，数列的收敛性，数列的极限都不变。

1.当然是交错级数了。
2.乘0就不是的。
3.是的。过了收敛域就是发散的。计算无意义。
4.你判断的根据是正项级数，但这个是交错级数。交错级数只要一般项趋于0就收敛。
5.应该是条件收敛。首先他是交错级数，所以只要一般项趋于0就收敛。这个(-1)^n/(lnn)数列收敛，你的这个绝对值比这个小，所以收敛。 但要是全部取绝对值，后一项比前一项比值趋于1，发散的。所以不是绝对收敛。
6.只有这两个函数在x->5时有极限，才可以。
7.还是用后一项比前一项。可证比值小于1.
8.同样，后一项比前一项。可证比值小于1.
9.分子 分明都除以5^n ，可证比值趋于0.8，所以收敛。
10.这是公比为q的等比数列，按公式算就可以。提出来 aq^n后算。
11.1/(n(n+1）)=1/n-1/(n+1),再跟1/(n+2)相乘。
12.不要紧。前头缺项不要紧。可以的。