高等数学,帮忙解答一下这道题目,谢谢啦~

求函数z=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值
2025-04-17 20:18:52
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回答1:

z=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x=(x^3+3x^2-9x)-(y^3-3y^2)
dz=3(x^2+2x-3)dx-3(y^2-2y)dy
x^2+2x-3=0,y^2-2y=0
(x=1 or x=-3) and (y=0 or y=2)
稳定点:(1,0)、(-3,0)、(1,2)、(-3,2)
z1=x^3+3x^2-9x 在 x=-3 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值,
z2=-(y^3-3y^2) 在 y=0 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值,
小小得极小,大大得极大,小大 or 大小均无极值
所以函数 z 在点 (-3,2) 取得极大值=(-27+27+27)-(8-12)=27+4=31
所以函数 z 在点 (1,0) 取得极小值=(1+3-9)-(0-0)=-5+0=-5